Предельный переход под знаком предела

Предельный переход в неравенствах.

предельный переход под знаком предела

Предел последовательности. Единственность. Лемма о стабилизации знака . Предельный переход в неравенстве. Лемма о двух милиционерах. Предельный переход в неравенства для функций. Локальные свойства функций, имеющих в точке предел (сохранение знака и локальная. Предельный переход и арифметические операции. 6. Эквивалентность определений предела функции по Коши и Теорема о пределе монотонной функ- непрерыной в точке (локальная ограниченность, сохранение знака.

Основные теоремы о пределах

Отметим, что в некоторых учебниках это необходимое и достаточное условие приводится в качестве определения непрерывности функции в точке. Отметим также, что, если f x непрерывна в точке aто её график не имеет разрыва в точке a; f a.

предельный переход под знаком предела

Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций Теорема 2.

ФизМат: [Зачет 61] Теоремы о предельном переходе в неравенствах. Теорема о зажатой функции.

Если функция f x непрерывна и отлична от нуля в точке aто существует достаточно малая окрестность точки a в которой функция f x сохраняет тот же знак, который она имеет в точке a. По условию f x непрерывна в точке a.

предельный переход под знаком предела

Тогда по определению 2. Доказательство теоремы основывается на формулах 2. Приведем без доказательства следующие важные теоремы.

предельный переход под знаком предела

Теоремы настоящего пункта лежат в основе методов исследования функций на непрерывность. Рассмотрим, например, функцию x n при любом натуральном n.

В силу формулы 2. Но тогда на основании теоремы 2. Таким образом, всякая алгебраическая рациональная функция непрерывна в любой точке, принадлежащей её области определения. Можно показать, что этим свойством обладает не только алгебраическая рациональная функция, но и все явные алгебраические и все простейшие трансцендентные функции. Из этого факта и теорем настоящего пункта, вытекает следующая теорема.

Действительно, любая элементарная функция получается из явных алгебраических и простейших трансцендентных функций в результате некоторой последовательности алгебраических операций и конечного числа взятия функции от функции. Любая алгебраическая операция над непрерывными функциями также приводит к функции, непрерывной в каждой точке ее области определения см.

предельный переход под знаком предела

Операция взятия непрерывной функции от непрерывной также дает в результате непрерывную функцию см. Таким образом, на каждом этапе той последовательности операций, в результате которой получается рассматриваемая элементарная функция, непрерывность сохраняются. Отсюда и вытекает справедливость теоремы. Иными словами, символы предела и непрерывной функции можно менять местами. Таким образом, если, заранее известна непрерывность функции f x в точке aто формула 1.

В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно.

Предельный переход в неравенствах

Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено ден. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку ден. Посмотрим теперь, во что превратятся ден.

Первый замечательный предел и его модификации. Замена переменной под знаком предельного перехода.

По истечении полугодия ден. Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0, года и. Тогда из ден. При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно Мы тем самым доказали, что предел.

предельный переход под знаком предела

Найти предел последовательности, заданной общим членом. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого.